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\begin{document}

\author{倪明\\11930797}
\title{CH Wu Quasi-3D Method for Turbomachinery\\\textbf{吴仲华三元流理论简介}}

\maketitle
\begin{abstract}
叶轮机械广泛地应用于国民经济生产之中，产品由从低端到高端覆盖了国家能源、动力、国防等战略产业,对国家有着不可替代的地位。叶轮机械的流动过程与传统外部气体流动有许多不同，吴仲华教授于1952年推导出了叶轮机械非正交曲线坐标系下广义流动方程，直接将当时的设计水平及对流动的理解提升了一个大台阶。时至今日，我们在工程实际中仍然广泛使用吴仲华的这套理论。由于该方法涉及的内容较为丰富，本文仅仅对两类坐标系的流动方程组予以推导。
\end{abstract}

\section{背景简介}
所谓叶轮机械，就是以连续流动的流体为工质，以叶片为主要工作部件，通过工质与工作部件的相互作用 实现机械功与流体能量有效转换的机械的通称，主 要包括工作机械如泵、压缩机和风机等，以及动力机械如蒸汽轮机、水轮机和燃气轮机等\cite{chen2007}。叶轮机械被广泛地 应用于航空、航天、能源、动力、交通及化工等部门，涉及上下游产业链广泛，产品覆盖面由低端到高端，对国民经济生产有很大的促进作业，其中燃气轮机、航空发动机被称为现代工业皇冠上对明珠(如\autoref{fig:gt}所示)。

%%FIG GT and AERO Engine
\begin{figure}[h]
\centering
\begin{minipage}[hbt]{0.425\linewidth}
\centering
\includegraphics[width=0.825\textwidth,height=4cm]{fig/GEnX.png}
\subcaption{GEnX航空发动机}
\end{minipage}
\quad
\begin{minipage}[hbt]{0.425\linewidth}
\centering
\includegraphics[width=0.825\textwidth,height=4cm]{fig/8000H.png}
\subcaption{西门子SGT5-8000H燃气轮机}
\end{minipage}
\caption{航空发动机及燃气轮机}
\label{fig:gt} %% Label需要放在caption之后
\end{figure}

叶轮机械由于其转的高速旋转，转静部件的相互干涉，叶顶间隙流动的干涉，体现出流动的非定常性、强三维性，工质的可压缩性和粘性\cite{gui2014}。为了提高其的气动性能和效率，其内部的流动的研究一直受到国内外学者的高度重视，陈乃兴教授\cite{chen2011book}总结了叶轮机械的流动与传统的流动有两点主要的不同：

\begin{enumerate}
\item 叶轮机械由静子、转子交错排列，用于改变工质的能级；而传统气动是研究气体绕机翼流动，总能大致保持不变。
\item  叶轮机械是内部流动，是旋转部件限制于壁面之间的流动；传统气动是外部流动，多采用无穷远边界条件。	
\end{enumerate}
 
 为了解决叶轮机械内的复杂三维流动问题，吴仲华教授\cite{wu1952}于上世纪50年代创新性地提出了叶轮机械广义流动方程，又称“两类流理论”。他基于绝对流动与相对流动的转换关系，提出了著名的“两类相对流面”的通用理论，如\autoref{fig:s1s2}所示，将三维流场巧妙地分解为若干$S_1$相对流面（回转面）与$S_2$相对流面（子午面）之间的交替耦合迭代求解。理论推导过程中涉及到了$S_1$流面、$S_2$流面、沿流面导数、流片厚度及转子焓等重要概念，整个体系较为庞大。本文仅在此推导这些概念的基础：两类坐标系——绝对坐标系及相对坐标系下适用于叶轮机械的流动方程组。
 \begin{figure}[h]
 \centering
 \includegraphics[width=0.5\linewidth]{fig/S1S2.PNG}
\caption{$S_1$、$S_2$流面} 
\label{fig:s1s2} 
 \end{figure}
\section{理论简介}
在力学问题研究过程中，坐标系的选取是非常重要的，如果选取得当，可以大大简化研究问题。当工质在转子中运动时，工质既有相对于转子的相对运动，又有随着叶轮以角速度$\Omega$做旋转运动。
同时，叶轮机械中的流动过程边界条件有一些特性，如\autoref{fig:med} 所示的某压气机子午流道的示意图，工质的流动域是有限的，同时叶片和叶片排的边界呈周期性，那么我们可以根据上述的特性，利用绝对与相对坐标系的转换去简化问题\cite{liuturbo}。
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.8\linewidth]{fig/med.PNG}
\caption{压气机子午面流道\cite{wu1993}}
\label{fig:med}
\end{figure}

绝对坐标系通常是指我们从地面观测,该系统为惯性系，因此可以非常方便地直接使用牛顿定律推导相关流动方程。

相对坐标系通常固定在转子上，随着叶轮一起旋转运动，此时叶片壁面运动与时间无关，边界条件变为定常条件。但该系统为非惯性，无法直接运用牛顿定律。

既然我们可以使用绝对坐标系和相对坐标系去描述通一个流场，那么这两类坐标系直接必然有一定转换关系。推导过程如下：
\begin{enumerate}
\item 通过绝对坐标系下，运用牛顿定律得到的运动方程组。
\item 通过两类方程的转换关系，得到相对坐标系下的运动方程组。
\end{enumerate}
另外需要注意的是，我们可以将静子视为一种“转速为0”的特殊转子，从而将动、静叶片的运动方程组予以统一。

\subsection{绝对坐标系}\label{subsec:abs}
根据质量守恒、动量守恒和能量守恒，得到的绝对坐标系下的N-S方程组如下：
\begin{align}
\frac{\partial \rho}{\partial t} +\nabla \cdot \left( \rho{} \, \mathbf{v} \right) &=0   \\
\frac{ \partial \left( \rho  \, \mathbf{v} \right) }{\partial t} +\nabla \cdot \left( \rho{} \mathbf{v} \, \mathbf{v} \right) &= \rho \mathbf{f} +  \nabla \cdot \bm{\Pi}-\nabla p \label{eq:absmomentum}\\
\frac{ \partial \left( \rho  \, U \right) }{\partial t} +\nabla \cdot \left[ \left( \rho{} U+p \mathbf{v} \right) \mathbf{v}\right]& = \rho \mathbf{f}\cdot \mathbf{v} + \nabla \cdot \left(\Pi\cdot \mathbf{v}\right) -\nabla \cdot \mathbf{q}
\end{align}
\autoref{eq:absmomentum}中，$\bm{\Pi}$为粘性应力张量， $\nabla \cdot \bm{\Pi}$可具体表示为：
\begin{equation}
\nabla \cdot \bm{\Pi}=\mu \nabla^2\mathbf{v} +\frac{\mu}{3}\nabla\left( \nabla \cdot \mathbf{v} \right) +2 \left( \nabla \mu  \right)  \cdot   \left( \nabla \mathbf{v} \right) +  \left( \nabla \mu  \right)  \times \left( \nabla \times \mathbf{v} \right) -\frac{2}{3} \left( \nabla \cdot \mathbf{v} \right)  \left( \nabla \mu  \right) 
\end{equation}

在叶轮机械领域，对于动量方程(\autoref{eq:absmomentum})，写成Crorco形式，使用Croco形式更为方便，具体如下：
\begin{equation}
 \frac{ \partial\mathbf{v}  }{\partial t} + \left( \mathbf{v}\cdot \nabla \right) \mathbf{v} = T \nabla S-\nabla H+ \frac{1}{\rho} \nabla \cdot \bm{ \Pi}\label{eq:abscroco}
\end{equation}
在\autoref{eq:abscroco}中H为总焓，$H=h+\frac{1}{2}\mathbf{v^2}$。推导过程中涉及到了热力学第一、第二定律及恒等关系。

根据热力学第一及第二定律：
\begin{align*}
\hat{V}&=\frac{1}{\rho}\\
 h&=U+p\hat{V}\\
 dh&=dU+pd\hat{V}+\hat{V}dp\\
 TdS&=dU+pd\hat{V} \\
 T \nabla S&= \nabla h -\frac{1}{\rho} \nabla p
\end{align*}

恒等关系推导如下：
\begin{equation*}
grad(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})=\left( \mathbf{b} \cdot \nabla \right) \mathbf{a} + \left( \mathbf{a} \cdot \nabla \right) \mathbf{b} +\mathbf{b}\times rot\mathbf{a}+\mathbf{a} \times rot \mathbf{b}
\end{equation*}

令$\mathbf{a}=\mathbf{b}=\mathbf{v}$,
\begin{equation*}
\nabla \left( \frac{\mathbf{v}^2}{2} \right)=\left( \mathbf{v}\cdot \nabla \right)\mathbf{v}+\mathbf{v}\times \left( \nabla \times \mathbf{v} \right)
\end{equation*}

\subsection{两类坐标系的转换关系}\label{subsec:trans}
角速度$\bm{\Omega}=const$的条件下,两类坐标系有如下互换关系:
\begin{figure}[h]
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\centering
		\begin{align*}
		  \mathbf{v}=\mathbf{w}+\mathbf{v_e}&=\mathbf{w}+\bm{\Omega} \times \mathbf{r_R}\\
		  \frac{d_A q}{dt} &=\frac{d_R q}{dt}\\
		  \frac{d_A \mathbf{B}}{dt} & =\frac{d_R \mathbf{B}}{dt} + \bm{\Omega} \times \mathbf{B} \\
		  \frac{\partial_A q}{\partial t} &=\frac{\partial_R q}{\partial t} -\left(\bm{\Omega}\times \mathbf{r_R}\right)\cdot \nabla_R q\\
	      \frac{\partial_A \mathbf{B}}{\partial t} &=\frac{\partial_R \mathbf{B}}{\partial t} +\bm{\Omega}\times \mathbf{B}\\
		  \hspace*{.5cm} &-\left(\bm{\Omega}\times \mathbf{r_R}\right)\cdot \nabla_R \mathbf{B}
		\end{align*}
\end{minipage}
\quad
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
    	\begin{align*}
		  \nabla_A q&=\nabla_R q\\
		  \nabla_A \cdot \mathbf{B}&=\nabla_R \cdot \mathbf{B}\\
		  \nabla_A \mathbf{B}&=\nabla_R \mathbf{B}\\
		  \nabla_A \times \mathbf{B}&=\nabla_R \times \mathbf{B}\\
		  \nabla_A \cdot \mathbf{v}&=\nabla_R \cdot \mathbf{w}\\
		  \nabla_A \times \mathbf{v}&=\nabla_R \times \mathbf{w}+2\bm{\Omega}
		\end{align*}
\end{minipage}
\end{figure}

上式中的下标$A,R$分别代表绝对坐标系和相对坐标系，$\mathbf{B}$代表任意向量，$q$代表任意标量。

\subsection{相对坐标系}
利用\autoref{subsec:trans}得到的转换关系式，带入\autoref{subsec:abs}中，得到：
\begin{gather}
\frac{\partial_R \rho}{\partial t} +\nabla \cdot \left( \rho{} \, \mathbf{w} \right) =0 \\
\frac{ d_R \mathbf{w} }{\partial t} +2\bm{\Omega}\times \mathbf{w}+\bm{\Omega}\times \left( \bm{\Omega }\times \mathbf{r} \right) =   -\frac{1}{\rho}\nabla p +\frac{1}{\rho}\nabla \cdot \bm\Pi  \label{eq:relmomentum}\\
 \frac{d_A I}{dt} =\frac{1}{\rho} \frac{\partial_R p}{\partial t}+\dot{q}+\frac{1}{\rho} \nabla \cdot \left( \Pi \cdot \mathbf{w}\right)
\end{gather}

上式中的$I$为转子焓，$ I =h+\frac{w\cdot w}{2}-\frac{\left(r \,\Omega \right)^2}{2}$,此概念为吴仲华教授在国际上首创，并得到了同行的广泛认可。接下来与\autoref{eq:abscroco}类似，在此借用转子焓的定义，推导相对坐标系下的Croco形式动量方程,则\autoref{eq:relmomentum}可化为：
\begin{equation}
\frac{ \partial \mathbf{w}}{\partial t}-\mathbf{w} \times \left( \nabla \times \mathbf{v} \right)=T \nabla S- \nabla I +\frac{1}{\rho} \nabla \cdot \bm\Pi
\end{equation}

推导过程中，利用到了两类坐标系转换关系和恒等式，如下所示：

\subsubsection*{进一步化简}
\paragraph{定常条件下：}
\begin{gather*}
\nabla \cdot \left( \rho \, \mathbf{w} \right) =0\\
\mathbf{w} \times \left( \nabla \times \mathbf{v} \right)= \nabla I -T\nabla S -\frac{1}{\rho} \nabla \cdot \Pi\\
\frac{dI}{dt}=\frac{1}{\rho}\nabla \cdot \left( \Pi \cdot \mathbf{w} \right)+ \dot{q}\\
T\frac{dS}{dt}=\dot{q}+\frac{\Phi}{\rho}
\end{gather*}
\section{总结}
本文为吴仲华简要介绍了吴仲华三元流理论，限于篇幅，简单地推导了绝对坐标系与相对坐标系下的N-S方程组。整理如下：



\section{更多内容}



    




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\end{document}