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# 小学数学典型应用题

## 前言

小学数学中把含有数量关系的实际问题用语言或文字叙述出来，这样所形成的题目叫做应用题。任何一道应用题都由两部分构成。第一部分是已知条件（简称条件），第二部分是所求问题（简称问题）。应用题的条件和问题，组成了应用题的结构。

没有特定的解答规律的两步以上运算的应用题，叫做一般应用题。题目中有特殊的数量关系，可以用特定的步骤和方法来解答的应用题，叫做典型应用题。这本资料主要研究以下30类典型应用题：

## 1、归一问题

### 【含义】

在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。

### 【数量关系】

$总量÷份数＝1份数量$

$1份数量×所占份数＝所求几份的数量$

$另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数$

### 【解题思路和方法】

先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。

### 【例题】

**〖例1〗**买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？

>解：
>
>（1）买1支铅笔多少钱？0.6÷5＝0.12（元）
>
>（2）买16支铅笔需要多少钱？0.12×16＝1.92（元）
>
>列成综合算式 ： 0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）

**〖例2〗**3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6 天耕地多少公顷？

>解：
>
>（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？  90÷3÷3＝10（公顷）
>
>（2）5台拖拉机6天耕地多少公顷？10×5×6＝300（公顷）
>
>列成综合算式： 90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公顷）

**〖例3〗**5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？

>解：
>
>（1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？  100÷5÷4＝5（吨）
>
>（2）7辆汽车1次能运多少吨钢材？   5×7＝35（吨）
>
>（3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？ 105÷35＝3（次）
>
>列成综合算式  105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）

## 2、归总问题

### 【含义】

解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。

### 【数量关系】

$1份数量×份数＝总量$

$总量÷1份数量＝份数$

$总量÷另一份数＝另一每份数量$

### 【解题思路和方法】

先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。

### 【例题】

**〖例1〗**服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？

>解：
>
>（1）这批布总共有多少米？3.2×791＝2531.2（米）
>
>（2）现在可以做多少套？ 2531.2÷2.8＝904（套）
>
>列成综合算式  3.2×791÷2.8＝904（套）

**〖例2〗**小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》？

>解：
>
>（1）《红岩》这本书总共多少页？24×12＝288（页）
>
>（2）小明几天可以读完《红岩》？288÷36＝8（天）
>
>列成综合算式24×12÷36＝8（天）

**〖例3〗**食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？

>解：
>
>（1）这批蔬菜共有多少千克？50×30＝1500（千克）
>
>（2）这批蔬菜可以吃多少天？1500÷（50＋10）＝25（天）
>
>列成综合算式50×30÷（50＋10）＝1500÷60＝25（天）

## 3、和差问题

### 【含义】

已知两个数量的和与差，求这两个数各是多少，这类应用题叫和差问题。

### 【数量关系】

$大数＝（和＋差）÷2$

$小数＝（和－差）÷2$

### 【解题思路和方法】

简单的题可以直接套用公式；复杂的题变通后再用公式。

### 【例题】

**〖例1〗**甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？

>解：
>
>甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）
>
>乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）

**〖例2〗**长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。

>解：
>
>长＝（18＋2）÷2＝10（厘米） 
>
>宽＝（18－2）÷2＝8（厘米）
>
>长方形的面积 ＝10×8＝80（平方厘米）

**〖例3〗**有甲、乙、丙三袋化肥，甲、乙两袋共重32千克，乙、丙两袋共重30千克，甲、丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。

> 解：
>
> 甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（32－30）＝2千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知 
>
> 甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克）  丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克）  乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克） 
>

**〖例4〗**甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？

>   解：
>
>  “从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐”，这说明 甲车是大数，乙车是小数，
>
>  甲与乙的差是（14×2＋3），
>
>  甲与乙的和是97，因此甲车筐数＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐） 
>
>  乙车筐数＝97－64＝33（筐） 
>

## 4、和倍问题

### 【含义】

已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。

### 【数量关系】

$总和÷（几倍＋1）＝较小的数$
$总和－较小的数＝较大的数较小的数×几倍＝较大的数$

### 【解题思路和方法】

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

### 【例题】

**〖例1〗**果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？

> 解：
> （1）杏树有多少棵？248÷（3＋1）＝62（棵）
> （2）桃树有多少棵？62×3＝186（棵）

**〖例2〗**东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨？

> 解：
> （1）西库存粮数＝480÷（1.4＋1）＝200（吨）
> （2）东库存粮数＝480－200＝280（吨）

**〖例3〗**甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？

> 解：
> 每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站（28－24）辆。
> 把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数（52＋32）就相当于（2＋1）倍，
> 那么，几天以后甲站的车辆数减少为（52＋32）÷（2＋1）＝28（辆）
> 所求天数为（52－28）÷（28－24）＝6（天）

**〖例4〗**甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？

> 解：
> 乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1倍量。
> 因为乙比甲的2倍少4，所以给乙加上4，乙数就变成甲数的2倍；
> 又因为丙比甲的3倍多6，所以丙数减去6就变为甲数的3倍；
> 这时（170＋4－6）就相当于（1＋2＋3）倍。
> 那么，甲数＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28
> 乙数＝28×2－4＝52
> 丙数＝28×3＋6＝90

## 5、差倍问题

### 【含义】

已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。

### 【数量关系】

$两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数$
$较小的数×几倍＝较大的数$

### 【解题思路和方法】

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

### 【例题】

**〖例1〗**果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？

> 解:
> （1）杏树有多少棵？124÷（3－1）＝62（棵）
> （2）桃树有多少棵？62×3＝186（棵）

**〖例2〗**爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁？

> 解:
> （1）儿子年龄＝27÷（4－1）＝9（岁）
> （2）爸爸年龄＝9×4＝36（岁）

**〖例3〗**商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元？

> 解:
> 如果把上月盈利作为1倍量，则（30－12）万元就相当于上月盈利的（2－1）倍，
> 因此
> 上月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（万元）
> 本月盈利＝18＋30＝48（万元）

**〖例4〗**粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍？

> 解:
> 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（138－94）。
> 把几天后剩下的小麦看作1倍量，则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（138－94）就相当于（3－1）倍，
> 因此
> 剩下的小麦数量＝（138－94）÷（3－1）＝22（吨）
> 运出的小麦数量＝94－22＝72（吨）
> 运粮的天数＝72÷9＝8（天）

## 6、倍比问题

### 【含义】

有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。

### 【数量关系】

$总量÷一个数量＝倍数$
$另一个数量×倍数＝另一总量$

### 【解题思路和方法】

先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。

### 【例题】

**〖例1〗**100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？

> 解:
> （1）3700千克是100千克的多少倍？3700÷100＝37（倍）
> （2）可以榨油多少千克？40×37＝1480（千克）
> 列成综合算式40×（3700÷100）＝1480（千克）

**〖例2〗**今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵？

> 解:
> （1）48000名是300名的多少倍？48000÷300＝160（倍）
> （2）共植树多少棵？400×160＝64000（棵）
> 列成综合算式400×（48000÷300）＝64000（棵）

**〖例3〗**凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元？全县16000亩果园共收入多少元？

> 解:
> （1）800亩是4亩的几倍？800÷4＝200（倍）
> （2）800亩收入多少元？11111×200＝2222200（元）
> （3）16000亩是800亩的几倍？16000÷800＝20（倍）
> （4）16000亩收入多少元？2222200×20＝44444000（元）

## 7、相遇问题

### 【含义】

两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。

### 【数量关系】

$相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）$
$总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间$

### 【解题思路和方法】

简单的题可直接利用公式，复杂的题变通后再利用公式。

### 【例题】

**〖例1〗**南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？

> 解:
> 392÷（28＋21）＝8（小时）

**〖例2〗**小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？

> 解:
> “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈,因此总路程为400×2
> 相遇时间＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）

**〖例3〗**甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。

> 解:
> “两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。
> 从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是（3×2）千米，
> 因此，
> 相遇时间＝（3×2）÷（15－13）＝3（小时）两地距离＝（15＋13）×3＝84（千米）

## 8、追及问题

### 【含义】

两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。

### 【数量关系】

追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）
追及路程＝（快速－慢速）×追及时间

### 【解题思路和方法】

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

### 【例题】

**〖例1〗**好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？

> 解:
> （1）劣马先走12天能走多少千米？75×12＝900（千米）
> （2）好马几天追上劣马？900÷（120－75）＝20（天）
> 列成综合算式75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）

**〖例2〗**小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。

> 解:
> 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了（500－200）米，
> 要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。
> 又知小明跑200米用40秒，则跑500米用［40×（500÷200）］秒，
> 所以小亮的速度是:（500－200）÷［40×（500÷200）］＝300÷100＝3（米）

**〖例3〗**我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人？

> 解:
> 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22－16）小时，
> 这段时间敌人逃跑的路程是［10×（22－6）］千米，甲乙两地相距60千米。
> 由此推知:
> 追及时间＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10）＝220÷20＝11（小时）

**〖例4〗**一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。

> 解:
> 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。
> 从题中可知客车落后于货车（16×2）千米，
> 客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，这个时间为16×2÷（48－40）＝4（小时）
> 所以两站间的距离为（48＋40）×4＝352（千米）
> 列成综合算式（48＋40）×［16×2÷（48－40）］＝88×4＝352（千米）

**〖例5〗**兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？

> 解:
> 要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。
> 从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（180×2）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（90－60）米，
> 那么，二人从家出走到相遇所用时间为
> 180×2÷（90－60）＝12（分钟）
> 家离学校的距离为90×12－180＝900（米）

**〖例6〗**孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。

> 解:
> 手表慢了10分钟，就等于晚出发10分钟，如果按原速走下去，就要迟到（10－5）分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了（10－5）分钟。
> 如果从家一开始就跑步，可比步行少9分钟，由此可知，行1千米，跑步比步行少用［9－（10－5）］分钟。
> 所以步行1千米所用时间为1÷［9－（10－5）］＝0.25（小时）＝15（分钟）
> 跑步1千米所用时间为15－［9－（10－5）］＝11（分钟）
> 跑步速度为每小时1÷11／60＝5.5（千米）

## 9、植树问题

### 【含义】

按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。

### 【数量关系】

线形植树棵数＝距离÷棵距＋1
环形植树棵数＝距离÷棵距
方形植树棵数＝距离÷棵距－4
三角形植树棵数＝距离÷棵距－3
面积植树棵数＝面积÷（棵距×行距）

### 【解题思路和方法】

先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。

### 【例题】

**〖例1〗**一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？

> 解:
> 136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）

**〖例2〗**一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？

> 解:
> 400÷4＝100（棵）

**〖例3〗**一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯？

> 解:
> 220×4÷8－4＝110－4＝106（个）

**〖例4〗**给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需要多少块地板砖？

> 解:
> 96÷（0.6×0.4）＝96÷0.24＝400（块）

**〖例5〗**一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？

> 解:
> （1）桥的一边有多少个电杆？500÷50＋1＝11（个）
> （2）桥的两边有多少个电杆？11×2＝22（个）
> （3）大桥两边可安装多少盏路灯？22×2＝44（盏）

## 10、年龄问题

### 【含义】

这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。

### 【数量关系】

年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。

### 【解题思路和方法】

可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。

### 【例题】

**〖例1〗**爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？

> 解:
> 35÷5＝7（倍）
> （35+1）÷（5+1）＝6（倍）

**〖例2〗**母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？

> 解:
> （1）母亲比女儿的年龄大多少岁？37－7＝30（岁）
> （2）几年后母亲的年龄是女儿的4倍？30÷（4－1）－7＝3（年）
> 列成综合算式（37－7）÷（4－1）－7＝3（年）

**〖例3〗**3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父子今年各多少岁？

> 解:
> 今年父子的年龄和应该比3年前增加（3×2）岁，今年二人的年龄和为49＋3×2＝55（岁）
> 把今年儿子年龄作为1倍量，则今年父子年龄和相当于（4＋1）倍，因此，今年儿子年龄为55÷（4＋1）＝11（岁）
> 今年父亲年龄为11×4＝44（岁）

**〖例4〗**甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？

> 解:
> 这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：
>
> |      | 过去某一年 | 今年 | 将来某一年 |
> | ---- | ---------- | ---- | ---------- |
> | 甲   | □岁        | △岁  | 61岁       |
> | 乙   | 4岁        | □岁  | △岁        |
>
> 表中两个“□”表示同一个数，
> 两个“△”表示同一个数。
>
> 因为两个人的年龄差总相等：□－4＝△－□＝61－△，
> 也就是4，□，△，61成等差数列，所以，61应该比4大3个年龄差，
> 因此
> 二人年龄差为（61－4）÷3＝19（岁）
> 甲今年的岁数为△＝61－19＝42（岁）
> 乙今年的岁数为□＝42－19＝23（岁）

## 11、行船问题

### 【含义】

行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；
水速是水流的速度，船只顺水航行的速度(顺水速度)是船速与水速之和；船只逆水航行的速度（逆水速度）是船速与水速之差。

### 【数量关系】

$（顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速$
$（顺水速度－逆水速度）÷2＝水速$
$顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2$

$逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2$

### 【解题思路和方法】

大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

### 【例题】

**〖例1〗**一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？

> 解:
> 由条件知，顺水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速为每小时15千米，
> 所以，船速为每小时320÷8－15＝25（千米）
> 船的逆水速为25－15＝10（千米）
> 船逆水行这段路程的时间为320÷10＝32（小时）

**〖例2〗**甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间？

> 解:
> 甲船速＋水速＝360÷10＝36
> 甲船速－水速＝360÷18＝20
> 可见（36－20）相当于水速的2倍，
> 所以，水速为每小时（36－20）÷2＝8（千米）
> 又因为，乙船速－水速＝360÷15，
> 所以，乙船速为360÷15＋8＝32（千米）
> 乙船顺水速为32＋8＝40（千米）
> 所以，乙船顺水航行360千米需要 360÷40＝9（小时）

**〖例3〗**一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时576千米，风速为每小时24千米，飞机逆风飞行3小时到达，顺风飞回需要几小时？

> 解:
> 这道题可以按照流水问题来解答。
> （1）两城相距多少千米？（576－24）×3＝1656（千米）
> （2）顺风飞回需要多少小时？1656÷（576＋24）＝2.76（小时）
> 列成综合算式［（576－24）×3］÷（576＋24）＝2.76（小时）

## 12、列车问题

### 【含义】

这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。

### 【数量关系】

$火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速$
$火车追及：追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离÷（甲车速－乙车速）$
$火车相遇：相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速＋乙车速）$

### 【解题思路和方法】

大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

### 【例题】

**〖例1〗**一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？

> 解:
> 火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。
> （1）火车3分钟行多少米？900×3＝2700（米）
> （2）这列火车长多少米？2700－2400＝300（米）
> 列成综合算式900×3－2400＝300（米）

**〖例2〗**一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米？

> 解:
> 火车过桥所用的时间是2分5秒＝125秒，
> 所走的路程是（8×125）米，这段路程就是（200米＋桥长），
> 所以，桥长为8×125－200＝800（米）

**〖例3〗**一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？

> 解:
> 从追上到追过，快车比慢车要多行（225＋140）米，
> 而快车比慢车每秒多行（22－17）米，
> 因此，所求的时间为（225＋140）÷（22－17）＝73（秒）

**〖例4〗**一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间？

> 解:
> 如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。
> 150÷（22＋3）＝6（秒）

**〖例5〗**一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒，以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？

> 解:
> 车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥所用的时间不同，是因为隧道比大桥长。
> 可知火车在（88－58）秒的时间内行驶了（2000－1250）米的路程，
> 因此，火车的车速为每秒（2000－1250）÷（88－58）＝25（米）
> 进而可知，车长和桥长的和为（25×58）米，
> 因此，车长为25×58－1250＝200（米）

## 13、时钟问题

### 【含义】

就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。

### 【数量关系】

$分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为11/12。$
$通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。$

### 【解题思路和方法】

变通为“追及问题”后可以直接利用公式。

### 【例题】

**〖例1〗**从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？

> 解:
> 钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；
> 时针每小时走5格，每分钟走5/60＝1/12格。
> 每分钟分针比时针多走（1－1/12）＝11/12格。
> 4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。
> 所以分针追上时针的时间为20÷（1－1/12）≈22（分）
> 答：再经过22分钟时针正好与分针重合。

**〖例2〗**四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？

> 解:
> 钟面上有60格，它的1/4是15格，因而两针成直角的时候相差15格（包括分针在时针的前或后15格两种情况）。
> 四点整的时候，分针在时针后（5×4）格，
> 如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走（5×4－15）格，
> 如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（5×4＋15）格。
> 再根据1分钟分针比时针多走（1－1/12）格就可以求出二针成直角的时间。
> （5×4－15）÷（1－1/12）≈6（分）
> （5×4＋15）÷（1－1/12）≈38（分）
> 答：4点06分及4点38分时两针成直角。

**〖例3〗**六点与七点之间什么时候时针与分针重合？

> 解:
> 六点整的时候，分针在时针后（5×6）格，分针要与时针重合，就得追上时针。
> 这实际上是一个追及问题。（5×6）÷（1－1/12）≈33（分）
> 答：6点33分的时候分针与时针重合。

## 14、盈亏问题

### 【含义】

根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。

### 【数量关系】

一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：
$参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差$

如果两次都盈或都亏，则有：
$参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差$
$参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差$

### 【解题思路和方法】

大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

### 【例题】

**〖例1〗**给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？

> 解:
> 按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差”的数量关系：
> （1）有小朋友多少人？（11＋1）÷（4－3）＝12（人）
> （2）有多少个苹果？3×12＋11＝47（个）

**〖例2〗**修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米？

> 解:
> 题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总人数”，
> 按照“参加分配的总人数＝（大亏－小亏）÷分配差”的数量关系，
> 可以得知原定完成任务的天数为（260×8－300×4）÷（300－260）＝22（天）
> 这条路全长为300×（22＋4）＝7800（米）

**〖例3〗**学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？

> 解:
>
> 本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有
>
> （1）有多少车？（30－0）÷（45－40）＝6（辆）
>
> （2）有多少人？40×6＋30＝270（人）

## 15、工程问题

### 【含义】

工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。

### 【数量关系】

解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
$工作量＝工作效率×工作时间$
$工作时间＝工作量÷工作效率$
$工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）$

### 【解题思路和方法】

变通后可以利用上述数量关系的公式。

### 【例题】

**〖例1〗**一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？

> 解:
> 题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，
> 因此，把此项工程看作单位“1”。
> 由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10；
> 乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；
> 两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。
> 由此可以列出算式：1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）
> 答：两队合做需要6天完成。

**〖例2〗**一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？

> 解一:
> 设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成（1/6－1/8），
> 二人合做时每小时完成（1/6＋1/8）。
> 因为二人合做需要［1÷（1/6＋1/8）］小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，
> 所以
> （1）每小时甲比乙多做多少零件？24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（个）
> （2）这批零件共有多少个？7÷（1/6－1/8）＝168（个）

> 解二：
> 上面这道题还可以用另一种方法计算：
> 两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为1/6∶1/8＝4∶3
> 由此可知，甲比乙多完成总工作量的4－3/4＋3＝1/7
> 所以，这批零件共有24÷1/7＝168（个）

**〖例3〗**一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？

> 解：
> 必须先求出各人每小时的工作效率。
> 如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，
> 因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，
> 则甲乙丙三人的工作效率分别是甲：60÷12＝5乙：60÷10＝6丙：60÷15＝4
> 因此余下的工作量由乙丙合做还需要（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小时）

**〖例4〗**一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？

> 解：
> 注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。
> 要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。
> 为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。
> 只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。
> 我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为（1×4×5），2个进水管15小时注水量为（1×2×15），
> 从而可知每小时的排水量为（1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。
> 由此可知一池水的总工作量为1×4×5－1×5＝15
> 又因为在2小时内，每个进水管的注水量为1×2，所以，2小时内注满一池水至少需要多少个进水管？
> （15＋1×2）÷（1×2）＝8.5≈9（个）

## 16、正反比例问题

### 【含义】

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

### 【数量关系】

判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。

### 【解题思路和方法】

解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。

### 【例题】

**〖例1〗**修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米？

> 解：
> 由条件知，公路总长不变。
> 原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12
> 现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12
> 比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于（4－3）份，
> 从而知公路总长为300÷（4－3）×12＝3600（米）
> 答：这条公路总长3600米。

**〖例2〗**张晗做4道应用题用28分钟，照这样计算，91分钟能做几道应用题？

> 解：
> 做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系
> 设91分钟可以做X应用题则有
> 28∶4＝91∶X
> 28X＝91×4
> X＝91×4÷28
> X＝13

**〖例3〗**孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完？

> 解：
> 书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系设X天可以看完，就有
> 24∶36＝X∶15
> 36X＝24×15
> X＝10

**〖例4〗**一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积。

![image-20211205165613488](%E5%B0%8F%E5%AD%A6%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%85%B8%E5%9E%8B%E5%BA%94%E7%94%A8%E9%A2%98/images/image-20211205165613488.png)

> 解：
>
> 由面积÷宽＝长可知，当长一定时，面积与宽成正比，所以每一上下两个小矩形面积之比就等于它们的宽的正比。
>
> 又因为第一行三个小矩形的宽相等，第二行三个小矩形的宽也相等。因此，
>
> A∶36＝20∶16
>
> 25∶B＝20∶16
>
> 解这两个比例，得
>
> A＝45
>
> B＝20
>
> 所以，大矩形面积为45＋36＋25＋20＋20＋16＝162

## 17、按比例分配问题

### 【含义】

所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。

### 【数量关系】

从条件看，已知总量和几个部分量的比；

从问题看，求几个部分量各是多少。

$总份数＝比的前后项之和$

### 【解题思路和方法】

先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。

### 【例题】

**〖例1〗**学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？

> 解：
> 总份数为47＋48＋45＝140
> 一班植树560×47/140＝188（棵）
>
> 二班植树560×48/140＝192（棵）
>
> 三班植树560×45/140＝180（棵）

**〖例2〗**用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米？

> 解：
> 3＋4＋5＝1260×3/12＝15（厘米）
> 60×4/12＝20（厘米）
> 60×5/12＝25（厘米）

**〖例3〗**从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。

> 解：
>
> 如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。
>
> 如果用按比例分配的方法解，则很容易得到1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶2
> 总份数：9＋6＋2＝17
>
> 大儿子：17×9/17＝9
>
> 二儿子：17×6/17＝6
>
> 小儿子：17×2/17＝2

**〖例4〗**某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21，第一车间比第二车间少80人，三个车间共多少人？

| 人数       | 80人 | 一共多少人？ |
| ---------- | ---- | ------------ |
| 对应的人数 | 12-8 | 8+12+21      |

> 解：
>
> 80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人）

## 18、百分数问题

### 【含义】

百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。

### 【数量关系】

掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：

$百分数＝比较量÷标准量$

$标准量＝比较量÷百分数$

### 【解题思路和方法】

一般有三种基本类型：
（1）求一个数是另一个数的百分之几；
（2）已知一个数，求它的百分之几是多少；
（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。

### 【例题】

**〖例1〗**仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几？

> 解:
>
> （1）用去的占720÷（720＋6480）＝10%
> （2）剩下的占6480÷（720＋6480）＝90%

**〖例2〗**红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几？

> 解:
>
> 本题中女职工为标准量，男职工比女职工少的是较量
>
> 所以（525－420）÷525＝0.2＝20%
>
> 或者1－420÷525＝0.2＝20%
>
> 答：男职工人数比女职工少20%。

**〖例3〗**红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比男职工人数多百分之几？

> 解:
>
> 本题中以男职工为标准量，女职工比男职工多的为比较量，
>
> 因此（525－420）÷420＝0.25＝25%
>
> 或者525÷420－1＝0.25＝25%
>
> 答：女职工人数比男职工多25%。

**〖例4〗**红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几？

> 解:
>
> （1）男职工占420÷（420＋525）＝0.444＝44.4%
> （2）女职工占525÷（420＋525）＝0.556＝55.6%
>
> 答：男职工占全厂职工总数的44.4%，女职工占55.6%。

**〖例5〗**百分数又叫百分率，在工农业生产中应用很广，常见的百分率有：

$增长率＝增长数÷原来基数×100%$

$合格率＝合格产品数÷产品总数×100%$

$出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%$

$出勤率＝实际出勤天数÷应出勤天数×100%$

$缺席率＝缺席人数÷实有总人数×100%$

$发芽率＝发芽种子数÷试验种子总数×100%$

$成活率＝成活棵数÷种植总棵数×100%$

$出粉率＝面粉重量÷小麦重量×100%$

$出油率＝油的重量÷油料重量×100%$

$废品率＝废品数量÷全部产品数量×100%$

$命中率＝命中次数÷总次数×100%$

$烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%$

$及格率＝及格人数÷参加考试人数×100%$

## 19、“牛吃草”问题

### 【含义】

“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

### 【数量关系】

$草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数$

### 【解题思路和方法】

解这类题的关键是求出草每天的生长量。

### 【例题】

**〖例1〗**一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？

> 解:
>
> 草是均匀生长的，所以，$草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数$。
>
> 求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：
> （1）求草每天的生长量
> 因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；
>
> 另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以1×10×20＝原有草量＋20天内生长量
>
> 同理1×15×10＝原有草量＋10天内生长量
>
> 由此可知（20－10）天内草的生长量为:1×10×20－1×15×10＝50
> 因此，草每天的生长量为:50÷（20－10）＝5
>
> （2）求原有草量
> 原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100
> （3）求5天内草总量
> 5天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125
>
> （4）求多少头牛5天吃完草
> 因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。因此5天吃完草需要牛的头数125÷5> > ＝25（头）
>
> 答：需要5头牛5天可以把草吃完。

**〖例2〗**一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？
> 解:
>
> 这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间。
>
> 设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：
> （1）求每小时进水量
> 因为，
>
> 3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量
>
> 10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量
>
> 所以，（10－3）小时内的进水量为:1×5×10－1×12×3＝14
>
> 因此，每小时的进水量为:14÷（10－3）＝2
>
> （2）求淘水前原有水量
> 原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30
>
> （3）求17人几小时淘完17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2），
>
> 所以17人淘完水的时间是
> 30÷（17－2）＝2（小时）
>
> 答：17人2小时可以淘完水。

## 20、鸡兔同笼问题

### 【含义】

这是古典的算术问题。

已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。

已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。

### 【数量关系】

第一鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有
$兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）$

假设全都是兔，则有
$鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）$

第二鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有
$兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）$

假设全都是兔，则有
$鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）$

### 【解题思路和方法】

解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。

如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；

如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。

这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。

### 【例题】

**〖例1〗**长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？

> 解:
>
> 假设35只全为兔，则
>
> 鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）
>
> 兔数＝35－23＝12（只）
>
> 
>
> 也可以先假设35只全为鸡
>
> 兔数=（94－2x35）÷（4－2）=12（只）
>
> 鸡数=35－12=23（只）

**〖例2〗**2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？

> 解:
>
> 此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。
>
> “每亩菠菜施肥（1÷2）千克”与“每只鸡有两个脚”相对应，
>
> “每亩白菜施肥（3÷5）千克”与“每只兔有4只脚”相对应，
>
> “16亩”与“鸡兔总数”相对应，
>
> “9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。
>
> 假设16亩全都是菠菜，则有
>
> 白菜亩数＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（亩）

**〖例3〗**李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本3.20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本？

> 解:
>
> 此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。
>
> 假设45本全都是日记本，则有
> 作业本数＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）
>
> 日记本数＝45－15＝30（本）
>
> 答：作业本有15本，日记本有30本。

**〖例4〗**（第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？

> 解:
>
> 假设100只全都是鸡，则有
> 兔数＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）
>
> 鸡数＝100－20＝80（只）

**〖例5〗**有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人？

> 解:
>
> 假设全为大和尚，则共吃馍（3×100）个，比实际多吃（3×100－100）个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，
>
> 因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以“小”换“大”，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（3－1/3）个。
>
> 因此，
>
> 共有小和尚（3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）
>
> 共有大和尚100－75＝25（人）
>
> 答：共有大和尚25人，有小和尚75人。

## 21、方阵问题

### 【含义】

将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。

### 【数量关系】

（1）方阵每边人数与四周人数的关系：
$四周人数＝（每边人数－1）×4每边人数＝四周人数÷4＋1$

（2）方阵总人数的求法：
实心方阵：

$总人数＝每边人数×每边人数$
$内边人数＝外边人数－层数×2$

（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：

$总人数＝（每边人数－层数）×层数×4$

### 【解题思路和方法】

方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。

### 【例题】

**〖例1〗**在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？

> 解:
>
> 22×22＝484（人）
>
> 答：参加体操表演的同学一共有484人。

**〖例2〗**有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。

> 解:
>
> 10－（10－3×2）＝84（人）
>
> 答：全方阵84人。

**〖例3〗**有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人？

> 解:
>
> （1）中空方阵外层每边人数＝52÷4＋1＝14（人）
> （2）中空方阵内层每边人数＝28÷4－1＝6（人）
>
> （3）中空方阵的总人数＝14×14－6×6＝160（人）
>
> 答：这队学生共160人。

**〖例4〗**一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个？

> 解:
>
> （1）纵横方向各增加一层所需棋子数＝4＋9＝13（只）
> （2）纵横增加一层后正方形每边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（只）
>
> （3）原有棋子数＝7×7－9＝40（只）
>
> 答：棋子有40只。

**〖例5〗**有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵，最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树？

> 解:
>
> 第一种方法：1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）
> 第二种方法：（5＋1）×5÷2＝15（棵）
>
> 答：这个三角形树林一共有15棵树。

## 22、商品利润问题

### 【含义】

这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。

### 【数量关系】

$利润＝售价－进货价$

$利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100%$

$售价＝进货价×（1＋利润率）$

$亏损＝进货价－售价$

$亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%$

### 【解题思路和方法】

简单的题可以直接利用公式，复杂的题变通后利用公式。

### 【例题】

**〖例1〗**某商品的平均价格在一月份上调了10%，到二月份又下调了10%，这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何？

> 解:
>
> 设这种商品的原价为1，则
>
> 一月份售价为（1＋10%），
>
> 二月份的售价为（1＋10%）×（1－10%），
>
> 所以二月份售价比原价下降了1－（1＋10%）×（1－10%）＝1%
>
> 答：二月份比原价下降了1%。

**〖例2〗**某服装店因搬迁，店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去52元，已知衣服原来按期望盈利30%定价，那么该店是亏本还是盈利？亏（盈）率是多少？

> 解:
>
> 要知亏还是盈，得知实际售价52元比成本少多少或多多少元，进而需知成本。
>
> 因为52元是原价的80%，所以原价为（52÷80%）元；
>
> 又因为原价是按期望盈利30%定的，所以成本为52÷80%÷（1＋30%）＝50（元）
> 可以看出该店是盈利的，盈利率为（52－50）÷50＝4%
>
> 答：该店是盈利的，盈利率是4%。

**〖例3〗**成本0.25元的作业本1200册，按期望获得40%的利润定价出售，当销售出80%后，剩下的作业本打折扣，结果获得的利润是预定的86%。问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣？

> 解:
>
> 问题是要计算剩下的作业本每册实际售价是原定价的百分之几。
>
> 从题意可知，每册的原定价是0.25×（1＋40%），所以关键是求出剩下的每册的实际售价，为此要知道剩下的每册盈利多少元。
>
> 剩下的作业本售出后的盈利额等于实际总盈利与先售出的80%的盈利额之差，即
> 0.25×1200×40%×86%－0.25×1200×40%×80%＝7.20（元）
> 剩下的作业本每册盈利7.20÷［1200×（1－80%）］＝0.03（元）
>
> 又可知（0.25＋0.03）÷［0.25×（1＋40%）］＝80%
>
> 答：剩下的作业本是按原定价的八折出售的。

**〖例4〗**某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价便宜10%，甲店按30%的利润定价，乙店按20%的利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵6元，求乙店的定价。

> 解:
>
> 设乙店的进货价为1，则甲店的进货价为1－10%＝0.9
>
> 甲店定价为0.9×（1＋30%）＝1.17
>
> 乙店定价为1×（1＋20%）＝1.20
>
> 由此可得乙店进货价为6÷（1.20－1.17）＝200（元）
> 乙店定价为200×1.2＝240（元）
>
> 答：乙店的定价是240元。

## 23、存款利率问题

### 【含义】

把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。

### 【数量关系】

$年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100%$
$利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率$
$本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）数］$

### 【解题思路和方法】

简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

### 【例题】

**〖例1〗**李大强存入银行1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，求存款期多长。

> 解:
>
> 因为存款期内的总利息是（1488－1200）元，
> 所以总利率为（1488－1200）÷1200
>
> 又因为已知月利率，所以存款月数为（1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月）
>
> 答：李大强的存款期是30月即两年半。

**〖例2〗**银行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%，三年期8.28%，五年期9%。如果甲乙二人同时各存入1万元，甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同时取出，那么，谁的收益多？多多少元？

> 解:
>
> 甲的总利息［10000×7.92%×2＋［10000×（1＋7.92%×2）］×8.28%×3＝1584＋11584×8.28%×3＝4461.47（元）
>
> 乙的总利息10000×9%×5＝4500（元）
>
> 4500－4461.47＝38.53（元）
>
> 答：乙的收益较多，乙比甲多38.53元。

## 24、溶液浓度问题

### 【含义】

在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。

### 【数量关系】

$溶液＝溶剂＋溶质$
$浓度＝溶质÷溶液×100%$

### 【解题思路和方法】

简单的题可直接利用公式，复杂的题变通后再利用公式。

### 【例题】

**〖例1〗**爷爷有16%的糖水50克，（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它变成30%的糖水，需加糖多少克？

> 解:
>
> （1）需要加水多少克？50×16%÷10%－50＝30（克）
> （2）需要加糖多少克？50×（1－16%）÷（1－30%）－50＝10（克）
> 答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。

**〖例2〗**要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？

> 解:
>
> 假设全用30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出600×（30%－25%）＝30（克）
>
> 这是因为30%的糖水多用了。
>
> 于是，我们设想在保证总重量600克不变的情况下，用15%的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。
>
> 这样，每“换掉”100克，就会减少糖100×（30%－15%）＝15（克）
>
> 所以需要“换掉”30%的溶液（即“换上”15%的溶液）100×（30÷15）＝200（克）
> 由此可知，需要15%的溶液200克。
> 需要30%的溶液600－200＝400（克）
> 答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。

**〖例3〗**甲容器有浓度为12%的盐水500克，乙容器有500克水。把甲中盐水的一半倒入乙中，混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲乙两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水的百分比浓度。

> 解:由条件知，倒了三次后，甲乙两容器中溶液重量相等，各为500克，因此，只要算出乙容器中最后的含盐量，便会知所求的浓度。下面列表推算：
> | | 甲容器 | 乙容器 |
> | -------------------------- | ----------------------------------- | ----------------------------- |
> | 原有 | 盐水500 盐500×12%＝60 | 水500 |
> | 第一次把甲中一半倒入乙中后 | 盐水500÷2＝250 盐60÷2＝30 | 盐水500＋250＝750 盐30 |
> | 第二次把乙中一半倒入甲中后 | 盐水250＋375＝625 盐30＋15＝45 | 盐水750÷2＝375 盐30÷2＝15 |
> | 第三次使甲乙中盐水同样多 | 盐水500 盐45－9＝36 | 盐水500 盐45－36＋15＝24 |
> 
> 由以上推算可知，乙容器中最后盐水的百分比浓度为
> 24÷500＝4.8%
> 答：乙容器中最后的百分比浓度是4.8%。

## 25、构图布数问题

### 【含义】

这是一种数学游戏，也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图”，就是设计出一种图形；所谓“布数”，就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合所给的条件。

### 【数量关系】

根据不同题目的要求而定。

### 【解题思路和方法】

通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构图布数，符合题目所给的条件。

### 【例题】

**〖例1〗**十棵树苗子，要栽五行子，每行四棵子，请你想法子。

> 解:
>
> 符合题目要求的图形应是一个五角星。
> 4×5÷2＝10
> 因为五角星的5条边交叉重复，应减去一半。

**〖例2〗**九棵树苗子，要栽十行子，每行三棵子，请你想法子。

> 解:
>
> 符合题目要求的图形是两个倒立交叉的等腰三角形，
> 一个三角形的顶点在另一个三角形底边的中线上。

**〖例3〗**九棵树苗子，要栽三行子，每行四棵子，请你想法子。

> 解:
>
> 符合题目要求的图形是一个三角形，每边栽4棵树，三个顶点上重复应减去，正好9棵。4×3－3＝9

**〖例4〗**把12拆成1到7这七个数中三个不同数的和，有几种写法？请设计一种图形，填入这七个数，每个数只填一处，且每条线上三个数的和都等于12。

> 解:
>
> 共有五种写法，即
>
> 12＝1＋4＋7
>
> 12＝1＋5＋6
>
> 12＝2＋3＋7
>
> 12＝2＋4＋6
>
> 12＝3＋4＋5
> 在这五个算式中，4出现三次，其余的1、2、3、5、6、7各出现两次，因此，4应位于三条线的交点处，其余数都位于两条线的交点处。据此，我们可以设计出以下三种图形：
>
> ![image-20211205190025296](%E5%B0%8F%E5%AD%A6%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%85%B8%E5%9E%8B%E5%BA%94%E7%94%A8%E9%A2%98/images/image-20211205190025296.png)

## 26、幻方问题

### 【含义】

把n×n个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等，这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。

### 【数量关系】

每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个“和”叫做“幻和”。
三级幻方的幻和＝45÷3＝15

五级幻方的幻和＝325÷5＝65

### 【解题思路和方法】

首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和（即幻和），其次是确定正中间方格的数，然后再确定其它方格中的数。

### 【例题】

**〖例1〗**把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入九个方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。

| 2    | 7    | 6    |
| ---- | ---- | ---- |
| 9    | 5    | 1    |
| 4    | 3    | 8    |

> 解:
>
> 幻和的3倍正好等于这九个数的和，所以幻和为
> （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15
> 九个数在这八条线上反复出现构成幻和时，每个数用到的次数不全相同，最中心的那个数要用到四次（即出现在中行、中列、和两条对角线这四条线上），四角的四个数各用到三次，其余的四个数各用到两次。看来，用到四次的“中心数”地位重要，宜优先考虑。
> 设“中心数”为Χ，因为Χ出现在四条线上，而每条线上三个数之和等于15，所以（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝15×4
> 即45＋3Χ＝60所以Χ＝5
> 接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置，它们分别在四个角，再确定其余四个奇数的位置，它们分别在中行、中列，进一步尝试，容易得到正确的结果。

**〖例2〗**把2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数填到九个方格中，使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。
>解:
>
>只有三行，三行用完了所给的9个数，所以每行三数之和为（2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）÷3＝18
>假设符合要求的数都已经填好，那么三行、三列、两条对角线共8行上的三个数之和都等于18，我们看18能写成哪三个数之和：
>
>最大数是10：18＝10＋6＋2＝10＋5＋3
>最大数是9：18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4
>
>最大数是8：18＝8＋7＋3＝8＋6＋4
>最大数是7：18＝7＋6＋5刚好写成8个算式。
>首先确定正中间方格的数。第二横行、第二竖行、两个斜行都用到正中间方格的数，共用了四次。
>
>观察上述8个算式，只有6被用了4次，所以正中间方格中应填6。
>然后确定四个角的数。四个角的数都用了三次，而上述8个算式中只有9、7、5、3被用了三次，所以9、7、5、3应填在四个角上。
>
>但还应兼顾两条对角线上三个数的和都为18。
>最后确定其它方格中的数。如图。

| 9    | 2    | 7    |
| ---- | ---- | ---- |
| 4    | 6    | 8    |
| 5    | 10   | 3    |

## 27、抽屉原则问题

### 【含义】

把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？

要么把2只苹果放进一个抽屉，剩下的一个放进另一个抽屉；

要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。

这两种情况可用一句话表示：一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果。

这就是数学中的抽屉原则问题。

### 【数量关系】

基本的抽屉原则是：如果把n＋1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。
抽屉原则可以推广为：$如果有m个抽屉，有k×m＋r（0＜r≤m）个元素那么至少有一个抽屉中要放（k＋1）个或更多的元素$。
通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更多的元素。

### 【解题思路和方法】

（1）改造抽屉，指出元素；
（2）把元素放入（或取出）抽屉；

（3）说明理由，得出结论。

### 【例题】

**〖例1〗**育才小学有367个1999年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同一天的？

> 解:
>
> 由于1999年是润年，全年共有366天，可以看作366个“抽屉”，把367个1999年出生的学生看作367个“元素”。
>
> 367个“元素”放进366个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元素”。
>
> 这说明至少有2个学生的生日是同一天的。

**〖例2〗**据说人的头发不超过20万跟，如果陕西省有3645万人，根据这些数据，你知道陕西省至少有多少人头发根数一样多吗？

> 解:
>
> 人的头发不超过20万根，可看作20万个“抽屉”，3645万人可看作3645万个“元素”，把3645万个“元素”放到20万个“抽屉”中，得到
> 3645÷20＝182……5
> 根据抽屉原则的推广规律，可知k＋1＝183
>
> 答：陕西省至少有183人的头发根数一样多。

**〖例3〗**一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。其中红球10个，白球9个，黄球8个，蓝球2个。某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至少要取多少个球，才能保证至少有4个球颜色相同？

> 解:
>
> 把四种颜色的球的总数（3＋3＋3＋2）＝11看作11个“抽屉”，那么，至少要取（11＋1）个球才能保证至少有4个球的颜色相同。
>
> 答；他至少要取12个球才能保证至少有4个球的颜色相同。

## 28、公约公倍问题

### 【含义】

需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。

### 【数量关系】

绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。

### 【解题思路和方法】

先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数，再求出答案。最大公约数和最小公倍数的求法，最常用的是“短除法”。

### 【例题】

**〖例1〗**一张硬纸板长60厘米，宽56厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形，不许有剩余。问正方形的边长是多少？

> 解:
>
> 硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。
> 60和56的最大公约数是4。
>
> 答：正方形的边长是4厘米。

**〖例2〗**甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶，甲车行一周要36分钟，乙车行一周要30分钟，丙车行一周要48分钟，三辆汽车同时从同一个起点出发，问至少要多少时间这三辆汽车才能同时又在起点相遇？

> 解:
>
> 要求多少时间才能在同一起点相遇，这个时间必定同时是36、30、48的倍数。因为问至少要多少时间，所以应是36、30、48的最小公倍数。
> 36、30、48的最小公倍数是720。
> 答：至少要720分钟（即12小时）这三辆汽车才能同时又在起点相遇。

**〖例3〗**一个四边形广场，边长分别为60米，72米，96米，84米，现要在四角和四边植树，若四边上每两棵树间距相等，至少要植多少棵树？

> 解:
>
> 相邻两树的间距应是60、72、96、84的公约数，要使植树的棵数尽量少，须使相邻两树的间距尽量大，那么这个相等的间距应是60、72、96、84这几个数的最大公约数12。
>
> 所以，至少应植树（60＋72＋96＋84）÷12＝26（棵）答：至少要植26棵树。

**〖例4〗**一盒围棋子，4个4个地数多1个，5个5个地数多1个，6个6个地数还多1个。又知棋子总数在150到200之间，求棋子总数。

> 解:
>
> 如果从总数中取出1个，余下的总数便是4、5、6的公倍数。
>
> 因为4、5、6的最小公倍数是60，又知棋子总数在150到200之间，所以这个总数为
> 60×3＋1＝181（个）
>
> 答：棋子的总数是181个。

## 29、最值问题

### 【含义】

科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，又要节约能源，要少花钱多办事，办好事，以最小的代价取得最大的效益。这类应用题叫做最值问题。

### 【数量关系】

一般是求最大值或最小值。

### 【解题思路和方法】

按照题目的要求，求出最大值或最小值。

### 【例题】

**〖例1〗**在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要3分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟？

> 解:
>
> 先将两块饼同时放上烤，3分钟后都熟了一面，这时将第一块饼取出，放入第三块饼，翻过第二块饼。
>
> 再过3分钟取出熟了的第二块饼，翻过第三块饼，又放入第一块饼烤另一面，再烤3分钟即可。
>
> 这样做，用的时间最少，为9分钟。答：最少需要9分钟。

**〖例2〗**在一条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是10千米，已知1号煤场存煤100吨，2号煤场存煤200吨，5号煤场存煤400吨，其余两个煤场是空的。现在要把所有的煤集中到一个煤场里，每吨煤运1千米花费1元，集中到几号煤场花费最少？

> 解:
>
> 我们采用尝试比较的方法来解答。
> 集中到1号场总费用为:1×200×10＋1×400×40＝18000（元）
>
> 集中到2号场总费用为:1×100×10＋1×400×30＝13000（元）
>
> 集中到3号场总费用为:1×100×20＋1×200×10＋1×400×10＝12000（元）
>
> 集中到4号场总费用为:1×100×30＋1×200×20＋1×400×10＝11000（元）
>
> 集中到5号场总费用为:1×100×40＋1×200×30＝10000（元）
>
> 经过比较，显然，集中到5号煤场费用最少。
>
> 答：集中到5号煤场费用最少。

**〖例3〗**北京和上海同时制成计算机若干台，北京可调运外地10台，上海可调运外地4台。现决定给重庆调运8台，给武汉调运6台，若每台运费如右表，问如何调运才使运费最省？

|      | 重庆 | 武汉 |
| ---- | ---- | ---- |
| 北京 | 800  | 400  |
| 上海 | 500  | 300  |

> 解:
>
> 北京调运到重庆的运费最高，
>
> 因此，北京往重庆应尽量少调运。这样，把上海的4台全都调往重庆，再从北京调往重庆4台，调往武汉6台，运费就会最少，
>
> 其数额为
> 500×4＋800×4＋400×6＝7600（元）
>
> 答：上海调往重庆4台，北京调往武汉6台，调往重庆4台，这样运费最少。

## 30、列方程问题

### 【含义】

把应用题中的未知数用字母Χ代替，根据等量关系列出含有未知数的等式——方程，通过解这个方程而得到应用题的答案，这个过程，就叫做列方程解应用题。

### 【数量关系】

方程的等号两边数量相等。

### 【解题思路和方法】

可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。
（1）审：认真审题，弄清应用题中的已知量和未知量各是什么，问题中的等量关系是什么。
（2）设：把应用题中的未知数设为Χ。
（3）列；根据所设的未知数和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程。
（4）解；求出所列方程的解。
（5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意。（6）答：回答题目所问，也就是写出答问的话。
同学们在列方程解应用题时，一般只写出四项内容，即设未知数、列方程、解方程、答语。设未知数时要在Χ后面写上单位名称，在方程中已知数和未知数都不带单位名称，求出的Χ值也不带单位名称，在答语中要写出单位名称。检验的过程不必写出，但必须检验。

### 【例题】

**〖例1〗**甲乙两班共90人，甲班比乙班人数的2倍少30人，求两班各有多少人？

> 解:
>
> 第一种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（90－Χ）人。
>
> 找等量关系：甲班人数＝乙班人数×2－30人。
>
> 列方程：90－Χ＝2Χ－30
>
> 解方程得Χ＝40
>
> 从而知90－Χ＝50
>
> 第二种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（2Χ－30）人。
>
> 列方程（2Χ－30）＋Χ＝90
>
> 解方程得Χ＝40
>
> 从而得知2Χ－30＝50
>
> 答：甲班有50人，乙班有40人。

**〖例2〗**鸡兔35只，共有94只脚，问有多少兔？多少鸡？

> 解:
>
> 第一种方法：设兔为Χ只，则鸡为（35－Χ）只，兔的脚数为4Χ个，鸡的脚数为2（35－Χ）个。
>
> 根据等量关系“兔脚数＋鸡脚数＝94”可列出方程
> 4Χ＋2（35－Χ）＝94
>
> 解方程得Χ＝12
>
> 则35－Χ＝23
>
> 第二种方法：可按“鸡兔同笼”问题来解答。
>
> 假设全都是鸡，则有
>
> 兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）
>
> 所以兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）
>
> 鸡数＝35－12＝23（只）
>
> 答：鸡是23只，兔是12只。

**〖例3〗**仓库里有化肥940袋，两辆汽车4次可以运完，已知甲汽车每次运125袋，乙汽车每次运多少袋？

> 解:
>
> 第一种方法：求出甲乙两车一次共可运的袋数，再减去甲车一次运的袋数，即是所求。940÷4－125＝110（袋）
>
> 第二种方法：从总量里减去甲汽车4次运的袋数，即为乙汽车共运的袋数，再除以4，即是所求。（940－125×4）÷4＝110（袋）
>
> 第三种方法：设乙汽车每次运Χ袋，可列出方程940÷4－Χ＝125解方程得Χ＝110
>
> 第四种方法：设乙汽车每次运Χ袋，依题意得
>
> （125＋Χ）×4＝940
>
> 解方程得Χ＝110
>
> 答：乙汽车每次运110袋。

xianzhan/LFT-Note

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