https://gitee.com/fakerlove/matrix
应用于微分方程,概率与统计,优化,信号处理,控制工程,经济理论等领域
视屏教学
哈工大的---直接看这个,讲的十分详细
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北京理工大学-PPT有很多错误
https://www.bilibili.com/video/BV19x411878L
今天已经是第7天了,真的是醉了,too vegetable,I am fw
如果是突击的话,看这个就好了
https://www.bilibili.com/video/BV1234y167wx
重点
参考资料
https://zhuanlan.zhihu.com/p/107261835
线性空间中两种运算的8条运算规律缺一不可,还有两个封闭性
题目1$\{(a_1,a_2,\cdots,a_n)|a_1+a_2+\cdots+a_n=1\}\sub P^n,a_i\in P$请问这是线性空间吗?--送分
不是,因为0不在里面,加法不封闭,乘法也不封闭
$\{x\in P^n|Ax=0,A\in C^{n\times n}\}$
构成
第二大类题
设$\alpha_1=(1,0,2,1),\alpha_2=(2,0,1,-1),\alpha_3=(3,0,3,0)$
$\beta_1=(1,1,0,1),\beta_2=(4,1,3,1)$
若$V_1=L(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3),V_2=(\beta_1,\beta_2)$,
求$V_1+V_2$的维数和基,求$V_1\cap V_2$的基 \[ V_1+V_2=L(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2) \\ =\begin{bmatrix} 1&2&3&1&4 \\ 0&0&0&1&1 \\ 2&1&3&0&3 \\ 1&-1&0&1&1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}1&2&3&1&4 \\ 0&0&0&1&1 \\ 0&-3&-3&-2&-5 \\ 0&-3&-3&0&-3\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}1&0&1&0&1 \\ 0&1&1&0&1 \\ 0&0&0&1&1 \\ 0&0&0&0&0\end{bmatrix} \] 所以基为$\alpha_1,\alpha_2,\beta_1$,维数是3,这里维数等于秩
$dim(V_1\cap V_2)+dim(V_1+V_2)=dimV_1+dimV_2=2+2$
$dim(V_1\cap V_2)=4-3=1$
书上P21,20题 \[ \varepsilon_1=\begin{bmatrix}1\\ 0\\ 1\end{bmatrix},\varepsilon_2=\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix},\varepsilon_3=\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 1\end{bmatrix} \\ \eta_1=\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\-1\end{bmatrix},\eta_2=\begin{bmatrix}2\\ 2\\ -1\end{bmatrix},\eta_3=\begin{bmatrix}2\\ -1 \\-1 \end{bmatrix} \] 又$T$是$R^3$的线性变换,且$T\varepsilon_i=\eta_i(i=1,2,3)$;试求
(1)求基$\varepsilon$到$\eta$的过渡矩阵
(2)$T$在基$|\varepsilon_i|$下的矩阵
(3)$T$在基$|\eta|$下的矩阵 \[ (\eta_1,\eta_2,\eta_3)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)P \\ B=(\eta_1,\eta_2,\eta_3),A=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3) \\ B=AP,P=A^{-1}B \\ (A|B)\to (E|A^{-1}B) \\ \begin{bmatrix}1&2&1 \\ 0&1&1 \\ 1&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&2&-1 \\ 2 &2&-1 \\ -1&-1&-1\end{bmatrix}\to \begin{bmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}-2&\frac{3}{2}&\frac{3}{2} \\ 1&\frac{3}{2}&\frac{3}{2} \\ 1&\frac{1}{2}&-\frac{5}{2} \end{bmatrix} \] 第二问
$(T\varepsilon_1,T\varepsilon_2,T\varepsilon_3)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)A$
$(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)A$
这里$A=P$
第三问
$T$在$\eta$下矩阵$B=P^{-1}AP=P^{-1}PP=P$
集合:两种表示方式(列举、性质),并集、交集、和集(元素和的可能值集合);
数域:一种数集,元素的和、差、积、商仍在数集中,称为数域,如有理数域、复数域、实数域;
线性空间是定义在数域 K 上满足某些运算规律的向量集合,而数域本身也是一种特殊的集合。所以我们先讲集合,再讲数域,最后讲线性空间。
映射:象、原象,到自身的映射(变换),映射的乘积、结合律;
线性空间:一个集合,元素满足加法结合律、交换律,数乘(数域 K 上的数)分配率、结合律,存在零元素、负元素,乘 1 不变,称为数域 K 上的线性空间(向量空间),元素称为向量,如实线性空间、复线性空间、矩阵空间;
基与坐标:基(基底)、基向量、坐标(分量)
基与坐标变换:旧基 X 到新基 Y 过渡矩阵 C,基变换公式 $Y = XC$,坐标变换公式$\eta=C^{-1}\sigma$
线性子空间:线性空间 V 的非空子集$V_1$,满足对加法和数乘封闭$dimV_1\le dim V$,由$V$上的向量生成的子空间记为$L(x_1,\cdots,x_m)=\{k_1x_1+\cdots+k_mx_m\}$;零空间记为$L(0)$
矩阵的值域:矩阵$A\in R^{m\times n}$的值域是其所有列向量构成的子空间,记为:
$R(A)=L(a_1,\cdots,a_n)=\{Ax|x\in R^n\}$
矩阵的核空间:矩阵$A\in R^{m\times n}$的核空间定氮仪为$N(A)=\{x|ax=0\}$,即齐次方程组$Ax=0$的解空间,$N(A)$的维度(即解空间的维度)称为零度,记为$n(A)=dimN(A)$
维度与秩:根据“齐次解空间维度+矩阵秩=n”可推
$rank(A)+n(A)=n$
$rankA^T+n(A^T)=m$
$n(A)-n(A^T)=n-m$
域有加减乘除四种运算的的系统。
如果复数的一个非空集合$P$含有非零的数,且其中任意两数的和差积商(除数不为0)仍然属于这个集合,则称数集$P$为一个数域。
有理数域,实数域,复数域。
这两个都是映射
$A\to B$,这个表示集合的映射
$a\mapsto b$,这个表示集合中的元素的映射
二元加法运算
给定非空集合V和域F,若存在映射$\sigma:V\times V\to V\\ (V_1,V_2)\to\sigma (V_1,V_2)$,则称$\sigma$为V上的加法。
$\times$是卡式积
二元数乘运算
给定非空集合$V$和域$F$,两者之间还定义了一种运算,叫做数量乘法,即对于F中任意数$k$与$V$中任意元素$\alpha$,经这一运算后得到的结果仍为$V$中的一个确定的元素,称为$k$与$\alpha$的数量乘积,记作$k\alpha$
设$V$是一个非空的集合,$F$是一个数域,在集合$V$中定义两种代数运算,一种是加法运算,用$+$来表示,另一种是数乘运算,用$\cdot$来表示,并且这两种运算满足下列8条运算律
加法运算满足以下4条性质:
数乘运算满足以下4条性质
注意点
其中$k,l\in\mathbb{F} $,称这样子的$V$为数域$\mathbb{F}$的线性空间
全体实函数集合构成实数域$\mathbb{R}$上的线性空间(函数空间)
复数域$\mathbb{C}$上全体$m\times n$矩阵构成的集合$C^{m\times n}$为$\mathbb{C}$上的线性空间(矩阵空间)
实数域$\mathbb{R}$上全体次数小于或等于$n$的多项式集合$R[x]_{n+1}$构成实数域上$\mathbb{R}$上的线性空间(多项式空间)
实数域$\mathbb{R}$上全体次数等于n的多项式集合不构成实数域$\mathbb{R}$上的线性空间
设A是复数域$\mathbb{C}$上的$m\times n$矩阵,x为$n$维列向量,则$m$为列向量集合
$V=\{y\in C^m|y=Ax,x\in C^n\}$
构成复数域$\mathbb{C}$上的线性空间,称为$A$的列空间或A的值域,其中,$V$中的加法和数乘运算与$C^m$中的对应运算规则相同
remark 1: 空间这个概念只是为了类比2维或3维几何空间的一个概念,更好的理解为元素的集合,线性空间中的元素统称为抽象向量(The form that vectors take doesn't really matter, it can be anything)。
remark 2: 集合$\mathbb{V}$的中元素为:数组、函数、有向线段时,对应称为数域空间、函数空间、几何空间。
remark 3: 特别地,对于几何空间(有向线段的集合),加法运算采用平行四边形或三角形法则进行计算,数乘运算表示对有向线段进行同向或反向伸缩。
线性组合,线性表出,线性相关,线性无关,向量组的极大线性无关组,向量组的秩
$\alpha=k_1\beta_1+k_2\beta_2+\cdots+k_n\beta_n$,就可以说$\alpha$是$\beta$是线性组合,或者线性表出。
如果$\mathbb{P}$中有一组不全为0的数$k_1,k_2,\cdots,k_n$,使得
$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n=0$
则称向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性相关,若等式当且仅当$k_1=k_2=\cdots=k_n=0$时才成立。则称这组向量组线性无关。
线性相关性可以用线性非齐次方程组的解集来描述, 设抽象矩阵$A=[a_1,\cdots,a_p]$,由$p$个抽象向量组成,方程组 \[ [a_1,\cdots,a_p]\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_p\end{bmatrix}=Ax=e \] 若方程不存在非零解(即只有$x=0\in \mathbb{F}^p$,成立),则称向量组$a_1,\cdots,a_p$线性无关;
若方程存在非零解,则称向量组$a_1,\cdots,a_p$线性相关;
实数域$\mathbb{R}$上的函数空间中,函数组$e^x,e^{2x},e^{3x},e^{4x}$是一组线性无关的函数
向量空间的维数
设$V$为数域$F$上的一个线性空间,如果在V中存在n个线性无关向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$,
使得$V$中**任意一个向量$\alpha$**都可以由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性表出,即$\alpha=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n$
则称$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$为$V$的一个基底
$(k_1,k_2,\cdots,k_n)^T$为向量$\alpha$在基底$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$下的坐标,此时我们称$V$为一个$n$维线性空间,,记为$dim V=n$
注:由上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一,但是维数是唯一确定的。利用维数的定义,线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目前,我们主要讨论有限维的线性空间。
设$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$(旧的),与$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$(新的)是$n$维线性空间$V$的两组基底,他们之间的关系为 \[ \beta_i=\alpha_{1i}\alpha_1+\alpha_{2i}\alpha_2+\cdots+\alpha_{ni}\alpha_n \\ =\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\cdots&\alpha_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{1i}\\ a_{2i}\\ \vdots \\ a_{ni} \end{bmatrix} \] 将上述矩阵化可以得到下面的关系式 \[ \begin{bmatrix}\beta_1&\beta_2&\cdots&\beta_n\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\cdots&\alpha_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots \\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{bmatrix} \] 称n阶方阵$C=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix}$是由旧基底到新基底的过渡矩阵
基变换公式
$\begin{bmatrix}\beta_1&\beta_2&\cdots&\beta_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\cdots&\alpha_n\end{bmatrix}C$
其中$C=(c_{ij})_{m\times n}$称为从基$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$到基$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$的过渡矩阵(或基变换矩阵),这个式子叫做基变换公式
定理:
过渡矩阵是可逆的
求过渡矩阵:求n个AX=b,就是把每个基$\beta_i$用$\alpha$基表示出来。因为系数矩阵是一样,放在一起消元就好了
例子一
$\alpha=(2,3)^T$在自然基的$\varepsilon_1,\varepsilon_2$下的坐标是$(2,3)$,但是在基$\alpha_1=(1,0)^T,\alpha_2=(1,1)^T$下,由于$\alpha=-\alpha_1+3\alpha_2$,故此基下 的坐标为$(-1,3)$
例子二
任取$\zeta \in V$,若$\zeta$在两组基下的坐标分别为$\begin{bmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\end{bmatrix}^T$与$\begin{bmatrix}y_1&y_2&\cdots&y_n\end{bmatrix}^T$,那么我们有坐标变换公式
\[ \begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{bmatrix}=P\begin{bmatrix}y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n\end{bmatrix} \]
求坐标:写出基的转置组成的矩阵A作为系数矩阵,把向量b当常数:求AX=b(高斯消元)
例子
设$V$为数域$F$上的一个$n$维线性空间,$W$为$V$的一个非空子集合,如果对于任意的$\alpha,\beta\in W$以及任意的$k,l\in F$都有
\[ k\alpha+l\beta\in W \] 那么我们称$W$为$V$的一个子空间
线性空间$V$和单个零向量构成的子空间$\{0\}$是$V$的两个平凡的子空间。
设$A\in R^{m\times n}$,那么线性方程组$AX=0$的解空间为$n$维线性空间$R^n$的一个子空间。解空间的基底维$AX=0$的基础解系。
解空间的维数=维基础解系所含向量的个数
设$V_1,V_2$是线性空间$V$的两个子空间,命
$V_1\cap V_2=\{\alpha|\alpha\in V_1,\alpha\in V_2\}$
$V_1+ V_2=\{\alpha=\alpha_1+\alpha_2|\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2\}$
可以验证$V_1\cap V_2$和$V_1+V_2$都构成$V$的线性子空间,分别称为$V_1$和$V_2$的交空间与和空间
证明加法封闭和乘法封闭即可
设$W$是数域$P$上线性空间$V$的非空子集,则$W$是$V$的线性子空间的充要条件是
若$V_1$和$V_2$是线性空间$V$的两个子空间,则
$dimV_1+dimV_2=dim(V_1+V_2)+dim(V_1\cap V_2)$
在数学中,矩阵的维数就是矩阵的秩,矩阵的秩就是矩阵中非零子式的最高阶数。
怎么确定由矩阵构成的线性空间的维数?
由矩阵构成的线性空间的维数---这要看矩阵的特点.
$\{A|A=A^T,A\in R^{n\times n}\}$实对称矩阵的维数是$\frac{n(n+1)}{2}$
解释如下: 因为是对称的,$(i,j)$元素和$(j,i)$元素是相等的,所以维数只决定于对角线和上半(或下半)部分的元素,一共是 $1+2+3+...+n=n(n+1)/2$维
$V_1,V_2$是数域$F$上两个线性空间,映射我$\phi=V_1\to V_2$,如果对于$V_1$的任何两个向量$\alpha_1,\alpha_2$和任何数$\lambda\in F$,都有
$\phi(\alpha_1+\alpha_2)=\phi(\alpha_1)+\phi(\alpha_2)$
$\phi(\lambda\alpha_1)=\lambda\phi(\alpha_1)$
则称映射$\phi$是由$V_1$到$V_2$的线性映射,称$\alpha_1$为$\phi(\alpha_1)$的原像,$\phi(\alpha_1)$为$\alpha_1$的像
$V_1=V_2=V$,则称$\phi$为$V$上的线性变换
同构---换句话
群$G$和群$H$之间建立了同构映射,那么不仅群$G$中的每个元素在群$H$中都有一一映射。
而且对于群$G$中的每个元素$g_3=g_2\circ g_1$,在群运算$\circ$下得到的元素$g_3=g_1\circ g_2$也在这个映射下保持一一对应
同构是两个代数体系之间最精细的刻画,然而一般情况下,同构映射很难找到,于是我们退而求其次,提出一个比同构弱一些的要求:同态。
$\phi(0)=0$
$\phi(\sum_{i=1}^sk_i\alpha_i)=\sum_{i=1}^sk_i\phi(\alpha_i)$
设$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\in V_1$且$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性相关。则$\phi(\alpha_1),\phi(\alpha_2),\cdots,\phi(\alpha_s)$也线性相关
定义$\phi$是$V_1$到$V_2$的一个线性映射
设$\phi(V_1)=\{\beta=\phi(\alpha)\in V_2,\forall \alpha\in V_1\}$
则$\phi(V_1)$是$V_2$的线性子空间,称为线性映射$\phi$的值域,称为$R(\phi)$
令$N(\phi)=\phi^{-1}(0)=\{\alpha\in V_1|\phi(\alpha)=0\}$
则$N(\phi)$是$V_1$的线性子空间,称为线性映射$\phi$的核子空间,$dimN(\phi)$称为$\phi$的零度
设$A$的$m\times n$的矩阵,称其列向量构成的子空间为$A$的值域空间$R(A)$,即任意$n\times 1$维的向量$x$,有$Ax=b$,$b$是$A$值域空间中的一个元素,所有的b构成了$A$的值域空间
$R(A)=\{b|b=Ax,x\in R^n\}$
换句话讲
某个空间中所有向量经过变换矩阵后形成的向量的集合,通常用R(A)来表示。
假设你是一个向量,有一个矩阵要来变换你,这个矩阵的值域表示了你将来所有可能的位置。值域的维度也叫做秩(Rank)。
值域的维数就是秩
值域所在的空间定义为W空间。
已知$A$为一个$m\times n$矩阵,$A$的零空间(nullspace),又称核(kernel),是一组由下列公式定义的$n$维空间向量
$ker(A)=\{Ax=0|x\in C^n\}$
即线性方程组$Ax=0$的所有解$x$的集合
在数学中,一个算子$A$的零空间是方程$Av=0$的所有解$v$的集合,它也叫做$A$的核
设$\phi$是n维线性空间$V_1$到$m$维线性空间$V_2$的线性映射,那么$dimR(\phi)+dimN(\phi)=n$
线性变换是线性空间的核心内容,反映的是线性空间中元素间的一种基本
数域$P$上的线性空间$V$的一个变换$T$称为线性变换,如果对任意$(\alpha,\beta)\in V$即$k\in P$,都有
$T(\alpha,\beta)=T(\alpha)+T(\beta),T(k\alpha)=kT(\alpha)$
例子
线性变换能够用矩阵表示,如果T是一个把$R^N$映射到$R^M$的线性变换,且x是一个具有n个元素的列向量,那么我们把m*n的矩阵A,称为T的变换矩阵
官方概念如下
设$\phi$是$V$的线性变换,$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$是$V$的一组基
$\phi(\alpha_j)=\sum_{i=1}^ma_{ij}\alpha_i$
则 \[ \phi(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)= (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s) \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix} \\ =(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)A \] n阶方阵$A$称为$\phi$在$(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)$下的矩阵表示
例子
把线性空间$V$的每个向量都映射到零向量的变换叫做零变换
把$V$中每个向量都映射到自身的变换叫做单位变换(恒等变换)
$T(\alpha)=\alpha$
设$A$是n阶矩阵,若存在数$\lambda$及$n$元非零列向量$X$,使得$AX=\lambda X$或$(\lambda I-A)X=0$
设$A$是数域$F$上的$n$阶矩阵,矩阵$\lambda I-A$称为$A$的特征矩阵
行列式 \[ |\lambda I-A|= \begin{bmatrix} \lambda-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n} \\ -a_{21}&\lambda-a_{22}&\cdots&-a_{2n} \\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots \\ -a_{n1}&-a_{n2}&\cdots&\lambda-a_{nn} \end{bmatrix} \] 称为$A$的特征多项式
n次代数方程$|\lambda I-A|=0$称为$A$的特征方程,它的根称为$A$的特征根(或特征值)
矩阵$A$的所有特征根的全体称为$A$的谱,即为$\sigma(A)$
$A\alpha=\lambda\alpha,\alpha\ne 0$
$\alpha$是$(\lambda E-A)x =0$的非零解
$\mid \lambda E-A\mid=0$
$P^{-1}AP=B$
$\prod_{i=1}^n \lambda_i=\mid A\mid$
如果是n 阶矩阵,$r(A)=1,\mid \lambda E-A\mid =\lambda^n-\sum a_{ii}\lambda^{n-1}$
不同特征值的特征向量线性无关$k$重特征值至多有$k$个线性无关的特征向量
如果$P^{-1}AP=B$若$A\alpha=\lambda\alpha$,则$B(P^{-1}\alpha)=\lambda(P^{-1}\alpha)$
若$B\alpha=\lambda\alpha$,则$A(P\alpha)=\lambda(P\alpha)$
特征值相等是矩阵相似的必要条件。特征值相等不一定相似,除非这些特征值都不同。比如1,2如果有特征值重根的时候,就需要验证了
设$T$是线性空间$V$的一个线性变换,又$W$是$V$上的一个子空间,若对任一向量$\alpha \in W$,都有$T\alpha \in W$,即 \[ T(W)\subseteq W \] 则称$W$是线性变换$T$的不变子空间,也就是说子空间$W$对线性变换$T$是不变的
$n$阶矩阵$A$的属于特征值$\lambda_0$的全部特征向量再添上零向量,可以组成$R^n$的一个子空间,称之为矩阵A的属于特征值$\lambda_0$的特征子空间,记为$V_{\lambda_0}$,不难看出$V_{\lambda_0}$正是特征方程组$(\lambda_0 I-A)X=0$的解空间
相关概念
设$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r$是A的$r$个互不相同的特征值,对应的重数分别为$p_1,p_2,\cdots,p_r$,则称$p_i$为$\lambda_i$的代数重复度
$|\lambda I-A|=(\lambda-\lambda_1)^{p_1}(\lambda-\lambda_2)^{p_2}\cdots(\lambda-\lambda_r)^{p_r}$
特征子空间$V_{\lambda_0}$的维数$q_i$为$\lambda_i$的几何重复度
性质
一个特征向量不能属于不同的特征值
属于不同特征值的特征向量是线性无关的
矩阵A的任一特征值$\lambda_i$的几何重复度$q_i$不大于它的代数重复度$p_i$
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